Mats-Olav J.
Svar:
Om jag förstått problemet rätt så bör figuren bli något sånt här:
 |
där problemet var att beräkna arean av triangeln BFE samt avståndet från E till sidan BF. För enkelhetens skull antar jag att kvadratens sida har längd 1. Trianglarna BFE och AED är likformiga, och om vi betecknar avståndet från E till sidan BF med h så är avståndet från E till sidan AD 1-h. Likformighet ger:
h/(1/2) = (1-h)/1Vilket ger h = 1/3, och arean av BFE blir (1/3)·(1/2)·(1/2) = 1/12.
h/(1/2) = (1-h)/1Vilket ger h = 1/3, och arean av BFE blir (1/3)·(1/2)·(1/2) = 1/12.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hej
Jag hoppas kuna få hjälp med följande: En nål släpps över ett papper på vilket parallella linjer ritats. Avstånden mellan linjerna förhåller sig till nålens längd som a/b. Finn sannolikheten att nålen korsar en linje. (a/b >1)
Timo
Svar:
Detta är Buffons nålproblem. När nålen fallit utgör den diameter i en cirkel. Antag att cirkelns medelpunkt är på avståndet x från den närmaste linjen. Låt p(x) vara sannolikheten att nålen korsar linjen. Om x > b/2 så är p(x) = 0. Annars finns det två cirkelsektorer sådana att om nålens spets hamnar i någon av dessa så korsar nålen linjen. Vi låter v vara halva vinkeln av en sådan sektor. Då är cos v = 2x/b varför 4v = 4arccos(2x/b). Vi får att
p(x) = (4arccos(2x/b))/(2π) = (2/π)arccos(2x/b).
Delar vi in intervallet [0,a/2] i n lika delar med delningspunkterna xk, k = 0,1,2,...,n, så kan vi approximera den sökta sannolikheten med summan av sannolikheterna
P(xk - 1 <= x < xk)p(xk) = 2p(xk)Delta xk/a.
Låter vi n gå mot oo får vi den sökta sannolikheten
P = (2/a)∫0a/2 p(x) dx = (4/(a π))∫0b/2 arccos(2x/b) dx = (2b/(a π))∫01 arccos t dt
= 2b/(a π).
Kjell Elfström
Källa:
Fråga Lund om matematik: http://www.maths.lth.se/query/answers/q201912.php
